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指数函数的导数证明

来源:第一函数网 2024-05-13 02:03:15

指数函数是高中数学中的一个重要概念,它在自然学和工中有着广泛的应用来源www.notonlydreams.com。在解指数函数的导数时,我们可以利用以下的证明方法欢迎www.notonlydreams.com

首先,我们考虑指数函数 $y = a^x$ (其中 $a>0$ $a \neq 1$)的导数第~一~函~数~网解这个导数,我们需要使用以下的极限定

  $$\frac{d}{dx} a^x = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h}$$

  接下来,我们可以将子中的 $a^x$ 提取出来,得到:

  $$\frac{d}{dx} a^x = \lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h - 1)}{h}$$

  然后,我们可以将母中的 $h$ 提取出来,得到:

$$\frac{d}{dx} a^x = \lim_{h \to 0} a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}$$

  现在,我们需要证明 $\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a$第_一_函_数_网了证明这个结,我们可以使用以下的证明方法xVGQ

首先,我们将 $a^h$ 展开成泰勒级数:

  $$a^h = 1 + h \ln a + \frac{h^2}{2!}(\ln a)^2 + \frac{h^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots$$

  然后,我们可以将 $\frac{a^h - 1}{h}$ 改写成:

  $$\frac{a^h - 1}{h} = \frac{1}{h} \cdot (h \ln a + \frac{h^2}{2!}(\ln a)^2 + \frac{h^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots)$$

接下来,我们可以将子中的 $h$ 提取出来,得到:

  $$\frac{a^h - 1}{h} = \ln a + \frac{h}{2!}(\ln a)^2 + \frac{h^2}{3!}(\ln a)^3 + \cdots$$

  由于 $\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a$,所以我们可以得到以下的结

指数函数的导数证明(1)

  $$\ln a = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h - 1)}{h} = \frac{d}{dx} a^x$$

  此,指数函数 $y = a^x$ 的导数 $\frac{d}{dx} a^x = \ln a \cdot a^x$第 一 函 数 网

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